Fibonacci Reihe

Das Bildungsgesetz für diese Zahlenfolge ist simpel:
Ab n>2 gilt:

f(n) = f(n-1) + f(n-2)

Für n=1,2 wird je 1 verwendet.

Umso erstaunlicher sind manche Eigenschaften. Teilt man den aktuellen Wert f(n) durch den Vorgänger f(n-1) so nähert sich dieser Wert sehr rasch einem Grenzwert an:

dem goldenen Schnitt = 0.5*(sqrt(5) + 1)  = 1,61803399

 
 

n	Fibonacci Folge =f(n)	Goldener Schnitt =f(n)/f(n-1)
1	1
2	1	1,0000000
3	2	2,0000000
4	3	1,5000000
5	5	1,6666667
6	8	1,6000000
7	13	1,6250000
8	21	1,6153846
9	34	1,6190476
10	55	1,6176471
11	89	1,6181818
12	144	1,6179775

 

Stellt man dies als Quadrate dar ergibt sich diese nette Spirale:

Was weiter auffällt:

• Die Annäherung an den Goldenen Schnitt erfolgt sehr schnell und stets alternierend.
• Die Abweichungen vom Goldenen Schitt wird dabei stets kleiner.

n      f(n)     =f(n)/f(n-1)     Abweichung           Annäherung      Annäherung
                                 vom Goldenen         von Oben        von unten
                                 Schnitt

 1       1                       
 2       1     1,0000000         -38,196601%           
 3       2     2,0000000          23,606798%          -         
 4       3     1,5000000          -7,294902%                            5,236068  
 5       5     1,6666667           3,005665%          7,854102       
 6       8     1,6000000          -1,114562%                            6,545085  
 7      13     1,6250000           0,430523%          6,981424       
 8      21     1,6153846          -0,163740%                            6,806888  
 9      34     1,6190476           0,062646%          6,872339       
10      55     1,6176471          -0,023914%                            6,847166  
11      89     1,6181818           0,009136%          6,856756       
12     144     1,6179775          -0,003489%                            6,853089  

• Der Abweichung (von oben bzw. von unten) nähert sich der 4.Potenz des goldenen Schnittes.
  Abweichung(n-2) / Abweichung (n)   =    ( 7 +3 *sqrt(5) ) / 2   ~  6.8541
  
  
• Jeder Schritt verbessert damit die Abweichung zur 2. Potenz des goldenen Schnittes
  Abweichung(n-1) / Abweichung (n)   =     1.5+sqrt(5) /2           ~  2.618
  
  
• Die Startwerte dürfen beliebige rationale Zahlen sein, solange gilt: f(1) !=0 und  f(2) != 0
  Auch hier stellt sich sehr schnell eine Annäherung ein.

Tribonacci Number

Ab n>3 gilt:

f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3)

Für n=1,2,3 wird je 1 verwendet.

1 1 1 3 5 9 17 31 57 105 193 355 653 1201 2209 4063 7473

Tetranacci numbers

Ab n>4 gilt:

f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3) + f(n-4)

Für n=1,2,3,4 wird je 1 verwendet.

1 1 1 1 4 7 13 25 49 94 181 349 673 1297 2500 4819 9289 17905

Pentanacci numbers

Ab n>5 gilt:

f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3) + f(n-4) + f(n-5)

Für n=1,2,3,4,5 wird je 1 verwendet.

1 1 1 1 1 5 9 17 33 65 129 253 497 977 1921 3777 7425 14597 28697 56417 110913