[1] O = 2πr² + 2πrh
[2] V = πr²h
mit O=const=1 folgt aus [1]:
[3] h(r) = (1-2πr²) / (2πr)
mit V(r) = πr²h(r)
= ½r (1-2πr²)
= ½r - πr³
damit das Volumen maximiert wird gilt V´(r)=0
V´(r) = ½ - 3π r² = 0
r² = 1 / (6 π)
r = sqrt(1 / (6 π))
und damit ist auch h(r) von [3] festgelegt
h = (1-2π / 6 π) / (2π sqrt(1 / (6 π)))
h = (2/3) / (2π sqrt(1 / (6 π)))
h = 1 / (3π sqrt(1 / (6 π)))
h = 1 / sqrt ( 9π / 6))
und somit das Verhältnis zwischen h und r:
r/h = sqrt (1 / (6 π)) sqrt ( 9π / 6))
r/h = sqrt (9π / 36 π)
r/h = sqrt (¼) = ½
Also ist das Optimum ereicht mit h = 2 r
[1] O = πr² + 2πrh
[2] V = πr²h
mit O=const=1 folgt aus [1]:
[3] h(r) = (1 - πr²) / (2πr)
mit V(r) = πr²h(r)
= ½r (1 - πr²)
= ½r - ½πr³
damit das Volumen maximiert wird gilt V´(r)=0
V´(r) = ½ - 3/2 πr² = 0
r² = 1 / (3 π)
r = sqrt(1 / (3 π))
r = 1 / sqrt(3 π)
und damit ist auch h(r) von [3] festgelegt
h = (1 - π / 3π) / (2π / sqrt(3π))
h = (2/3) / (2π / sqrt(3π))
h = 1 / (3π / sqrt(3π))
h = 1 / sqrt (3 π)
Also ist das Optimum ereicht mit h = r
[1] O = 2ah + a²
[2] V = ⅓ a² H
H = sqrt(h²-a²/4) // wahre Höhe der Pyramide
mit O=const=1 folgt aus [1]:
[3] h(a) = (1 - a²) / (2 a)
mit V(a) = ⅓ a² sqrt(h(a)²-a²/4)
= ⅓ a² sqrt((1 - 2a²+a²a²) / (4 a²) - a²/4))
= ⅙ a sqrt(1 - 2a²)
= sqrt(a²/36 - a²a²/18)
damit das Volumen maximiert wird gilt V´(a)=0
[4] V´(a) = 1/(2*sqrt( a²/36 - a²*a²/18) * 1/18 * (a - 4 a³)
und damit reicht folgende Bedingung
0 = (a - 4a³)
0 = a (1 - 4a²)
a=0 ist nicht gültig, da dies im vorderen Teil der Formel [4]
zur Null Division führt. Also bleibt
a = sqrt(¼) = ½
und mit [3] folgt
h = (1-¼) / (2*½)
h = 0.75
Also ist das Optimum ereicht mit h = 1.5a