Fibonacci Reihe
Das Bildungsgesetz für diese Zahlenfolge ist simpel:
Ab n>2 gilt:
f(n) = f(n-1) + f(n-2)Für n=1,2 wird je 1 verwendet.
Umso erstaunlicher sind manche Eigenschaften. Teilt man den aktuellen Wert f(n) durch den Vorgänger f(n-1) so nähert sich dieser Wert sehr rasch einem Grenzwert an:
dem goldenen Schnitt = 0.5*(sqrt(5) + 1) = 1,61803399
| n | Fibonacci Folge =f(n) |
Goldener Schnitt =f(n)/f(n-1) |
| 1 | 1 | |
| 2 | 1 | 1,0000000 |
| 3 | 2 | 2,0000000 |
| 4 | 3 | 1,5000000 |
| 5 | 5 | 1,6666667 |
| 6 | 8 | 1,6000000 |
| 7 | 13 | 1,6250000 |
| 8 | 21 | 1,6153846 |
| 9 | 34 | 1,6190476 |
| 10 | 55 | 1,6176471 |
| 11 | 89 | 1,6181818 |
| 12 | 144 | 1,6179775 |
Stellt man dies als Quadrate dar ergibt sich diese nette Spirale:
Was weiter auffällt:
- Die Annäherung an den Goldenen Schnitt erfolgt sehr schnell und stets alternierend.
- Die Abweichungen vom Goldenen Schitt wird dabei stets kleiner.
n f(n) =f(n)/f(n-1) Abweichung Annäherung Annäherung
vom Goldenen von Oben von unten
Schnitt
1 1
2 1 1,0000000 -38,196601%
3 2 2,0000000 23,606798% -
4 3 1,5000000 -7,294902% 5,236068
5 5 1,6666667 3,005665% 7,854102
6 8 1,6000000 -1,114562% 6,545085
7 13 1,6250000 0,430523% 6,981424
8 21 1,6153846 -0,163740% 6,806888
9 34 1,6190476 0,062646% 6,872339
10 55 1,6176471 -0,023914% 6,847166
11 89 1,6181818 0,009136% 6,856756
12 144 1,6179775 -0,003489% 6,853089
- Der Abweichung (von oben bzw. von unten) nähert sich der 4.Potenz des goldenen Schnittes.
Abweichung(n-2) / Abweichung (n) = ( 7 +3 *sqrt(5) ) / 2 ~ 6.8541 - Jeder Schritt verbessert damit die Abweichung zur 2. Potenz des goldenen Schnittes
Abweichung(n-1) / Abweichung (n) = 1.5+sqrt(5) /2 ~ 2.618 - Die Startwerte dürfen beliebige rationale Zahlen sein, solange gilt: f(1) !=0 und f(2) != 0
Auch hier stellt sich sehr schnell eine Annäherung ein.
Tribonacci Number
Ab n>3 gilt:f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3)Für n=1,2,3 wird je 1 verwendet. 1 1 1 3 5 9 17 31 57 105 193 355 653 1201 2209 4063 7473
Tetranacci numbers
Ab n>4 gilt:f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3) + f(n-4)Für n=1,2,3,4 wird je 1 verwendet. 1 1 1 1 4 7 13 25 49 94 181 349 673 1297 2500 4819 9289 17905
Pentanacci numbers
Ab n>5 gilt:f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3) + f(n-4) + f(n-5)Für n=1,2,3,4,5 wird je 1 verwendet. 1 1 1 1 1 5 9 17 33 65 129 253 497 977 1921 3777 7425 14597 28697 56417 110913