Worum geht es?
Wir wollten zeigen, wie ein Körper geformt sein muß, damit er ein max. Volumen hat.
OK, hier gibt es nur zu sagen, dass hier der Körper schon optimal ist.
Hier gibt es r und h als Variable für den Radius und die Höhe.
[1] O = 2πr² + 2πrh
[2] V = πr²h
mit O=const=1 folgt aus [1]:
[3] h(r) = (1-2πr²) / (2πr)
mit V(r) = πr²h(r)
= ½r (1-2πr²)
= ½r - πr³
damit das Volumen maximiert wird gilt V´(r)=0
V´(r) = ½ - 3π r² = 0
r² = 1 / (6 π)
r = sqrt(1 / (6 π))
und damit ist auch h(r) von [3] festgelegt
h = (1-2π / 6 π) / (2π sqrt(1 / (6 π)))
h = (2/3) / (2π sqrt(1 / (6 π)))
h = 1 / (3π sqrt(1 / (6 π)))
h = 1 / sqrt ( 9π / 6))
und somit das Verhältnis zwischen h und r:
r/h = sqrt (1 / (6 π)) sqrt ( 9π / 6))
r/h = sqrt (9π / 36 π)
r/h = sqrt (¼) = ½
Also ist das Optimum ereicht mit h = 2 r
Hier gibt es r und h als Variable für den Radius und die Höhe.
[1] O = πr² + 2πrh
[2] V = πr²h
mit O=const=1 folgt aus [1]:
[3] h(r) = (1 - πr²) / (2πr)
mit V(r) = πr²h(r)
= ½r (1 - πr²)
= ½r - ½πr³
damit das Volumen maximiert wird gilt V´(r)=0
V´(r) = ½ - 3/2 πr² = 0
r² = 1 / (3 π)
r = sqrt(1 / (3 π))
r = 1 / sqrt(3 π)
und damit ist auch h(r) von [3] festgelegt
h = (1 - π / 3π) / (2π / sqrt(3π))
h = (2/3) / (2π / sqrt(3π))
h = 1 / (3π / sqrt(3π))
h = 1 / sqrt (3 π)
Also ist das Optimum ereicht mit h = r
Hier gibt es a und h als Variable für die quadratische Länge der Grundfläche und der Höhe der 4 Dreiecke.
[1] O = 2ah + a²
[2] V = ⅓ a² H
H = sqrt(h²-a²/4) // wahre Höhe der Pyramide
mit O=const=1 folgt aus [1]:
[3] h(a) = (1 - a²) / (2 a)
mit V(a) = ⅓ a² sqrt(h(a)²-a²/4)
= ⅓ a² sqrt((1 - 2a²+a²a²) / (4 a²) - a²/4))
= ⅙ a sqrt(1 - 2a²)
= sqrt(a²/36 - a²a²/18)
damit das Volumen maximiert wird gilt V´(a)=0
[4] V´(a) = 1/(2*sqrt( a²/36 - a²*a²/18) * 1/18 * (a - 4 a³)
und damit reicht folgende Bedingung
0 = (a - 4a³)
0 = a (1 - 4a²)
a=0 ist nicht gültig, da dies im vorderen Teil der Formel [4]
zur Null Division führt. Also bleibt
a = sqrt(¼) = ½
und mit [3] folgt
h = (1-¼) / (2*½)
h = 0.75
Also ist das Optimum ereicht mit h = 1.5a